Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Найдите области определения и значений y=x²/(x²+1).
Ответ
D=ℝ; E=[0;1).
Подсказка: какое правило применить?
Для области значений нужно доказать и ограничение, и достижимость каждого значения в найденном множестве.
Решение по шагам
- Знаменатель x²+1≥1, поэтому допустим любой x.
- Числитель неотрицателен, а знаменатель на единицу больше числителя: 0≤y<1.
- Проверим достижимость: y(x²+1)=x² → x²=y/(1−y). При любом 0≤y<1 правая часть неотрицательна, поэтому существует x=√(y/(1−y)).
Проверка
При x=0 получаем y=0. Значение 1 невозможно: равенство x²=x²+1 противоречиво.