Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Найдите экстремальные значения и места достижения на естественных областях: а)√(x−1); б)√(x²−1); в)x³; г)2^(√(sin x)); д)1/√(1−x²); е)∛(sin x).
Ответ
а)min0 при x=1, max нет; б)min0 при x=±1, max нет; в)нет ни min, ни max; г)min1 при x=πk, max2 при x=π/2+2πk; д)min1 при x=0, max нет; е)min−1 при x=−π/2+2πk, max1 при x=π/2+2πk. Всюду k∈Z.
Подсказка: какое правило применить?
Экстремальное значение должно достигаться в разрешённой точке; одной границы диапазона недостаточно.
Решение по шагам
- а–б) Корни неотрицательны, равны 0 при нулевом подкоренном выражении и растут без границы.
- в) Куб принимает все действительные значения.
- г) На области функции 0≤sin x≤1. Корень и 2ᵗ возрастают, поэтому 1≤y≤2.
- д) При −1<x<1 знаменатель лежит в(0;1], значит y≥1; при x→±1 значения неограниченно растут.
- е) Кубический корень возрастает;sin x принимает все значения от −1 до 1.
Проверка
Точки достижения получены из sin x=0,1,−1 и из равенства подкоренных выражений нулю.