Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Проверьте периодичность и укажите период: а)[x]; б){x}; в)|{x}−1/2|; г)|{x/2}−1/2|; д)|2{x/2}−1|; е)|4{x/4}−2|. Здесь[x]=⌊x⌋, {x}=x−⌊x⌋.
Ответ
а) Не периодическая. б),в):T=1; г),д):T=2; е):T=4.
Подсказка: какое правило применить?
Дробная часть числа сохраняется при добавлении целого; целая часть при больших положительных сдвигах растёт.
Решение по шагам
- а) Если T>0 был бы периодом, то⌊nT⌋=⌊0⌋=0 для всех натуральных n. При nT≥1 это неверно.
- б–в) {x+1}={x}; внешние модуль и сдвиг не меняют это равенство.
- г–д) При x→x+2 внутренняя величина x/2 увеличивается на 1, её дробная часть сохраняется.
- е) Сдвиг x→x+4 увеличивает x/4 на 1.
Проверка
Подстановка x=0 и x=T даёт одинаковые значения в б–е; доказательство через дробную часть действует при любом x.