Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Для функции f на симметричном множестве X докажите: φ(x)=[f(x)+f(−x)]/2 чётна, ψ(x)=[f(x)−f(−x)]/2 нечётна.
Ответ
φ(−x)=φ(x), ψ(−x)=−ψ(x).
Подсказка: какое правило применить?
Перестановка слагаемых сохраняет сумму и меняет знак разности.
Решение по шагам
- Подставляем −x: φ(−x)=[f(−x)+f(x)]/2=φ(x).
- Аналогично ψ(−x)=[f(−x)−f(x)]/2=−ψ(x).
- Симметрия X гарантирует, что оба значения f(x) и f(−x) существуют.
Проверка
Сложение φ(x)+ψ(x) даёт f(x), что пригодится для разложения функции.