Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Докажите чётность суммы, разности, произведения и частного двух чётных функций на общей допустимой области.
Ответ
Все четыре результата чётны; у частного дополнительно исключаются нули делителя.
Подсказка: какое правило применить?
Частное нельзя определять в нулях делителя, даже если оба исходных выражения там существуют.
Решение по шагам
- Пусть f(−x)=f(x), g(−x)=g(x). Тогда(f±g)(−x)=f(x)±g(x), (fg)(−x)=f(x)g(x).
- Для частного f(−x)/g(−x)=f(x)/g(x), когда g(x)≠0.
- Пересечение симметричных областей симметрично. Нули чётного g также симметричны, поэтому их удаление не нарушает это свойство.
Проверка
Например,1/x² чётна на ℝ{0}, но не определена в 0.