Сверьте условие ниже: в другом издании номер может отличаться. Сведения об учебнике →
Условие кратко
Определите периодичность: а)sin²x; б)cos²x; в)sin²x−cos²x; г)1+tg x; д)1+ctg x; е)sin√x; ж)cos√(−x); з)tg√x; и)ctg√(−x).
Ответ
а–д периодические, подходит T=π. е–и не периодические.
Подсказка: какое правило применить?
Область периодической функции должна сохраняться при произвольном целом числе сдвигов на период.
Решение по шагам
- а–в) Формулы sin²x=(1−cos2x)/2, cos²x=(1+cos2x)/2 и sin²x−cos²x=−cos2x дают период π.
- г–д) У тангенса и котангенса период π; прибавление константы его сохраняет.
- е,з имеют непустые области, ограниченные снизу числом 0; ж,и — сверху числом 0.
- Если бы существовал ненулевой период, повторные сдвиги допустимого аргумента в обе стороны уходили бы за любую конечную границу. Это невозможно для таких областей.
Проверка
Сдвиг на π в а–д сохраняет значения и области; аргументы с корнем не выдерживают сдвиги по всей ℝ.